Tízes számrendszer


(10-es_számrendszer szócikkből átirányítva)


A tízes számrendszer vagy decimális számrendszer a számok ábrázolásának legelterjedtebb módja. Helyiértékes számrendszer, számjegyei a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, helyiértékei a tíz hatványai. A nem egész számok tizedestört formájában ábrázolhatóak benne. Az arab számírásos számrendszerek közül szinte az egész világon ezt használják.

Tartalomjegyzék

Leírása


Tízes számrendszerbeli ábrázolásban az egyes számjegyek azt jelölik, hogy a tíz különböző hatványi milyen 0 és 9 közötti együtthatókkal megszorozva adják összegül a számot. Így tehát az \({\displaystyle {\overline {x_{n}x_{n-1}\ldots x_{2}x_{1}x_{0}}}}\) ábrázolás az \({\displaystyle \sum _{k=0}^{n}x_{i}10^{i}}\) számot jelöli. Az n szám tízes számrendszerbeli alakjában az i-edik helyiértéken \({\displaystyle (n/10^{i})\mod 10}\) fog állni (a perjel maradékos osztást jelöl).

Oszthatósági szabályok

A tíz osztói a kettő és az öt, így ezek hatványaira adható a legegyszerűbb oszthatósági szabály: \({\displaystyle 2^{n}}\) illetve \({\displaystyle 5^{n}}\) akkor oszt egy számot, ha az utolsó n jegyéből képzett számot osztja. Speciálisan, a páros számok utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8, az öttel oszthatóké pedig 0 vagy 5.

A három osztója 10-1-nek, így rá is egyszerű oszthatósági szabály adható: egy szám pontosan akkor osztható hárommal, ha a számjegyeinek összege osztható vele. Ugyanez a kilenccel való oszthatóságra is vonatkozó szabály.

Tizedes törtek

A racionális és valós számokat tizedes törtként fejezhetjük ki: az összegben a tíz negatív kitevőjű hatványait is felhasználjuk. Hasonlóan más helyiértékes számrendszerekhez, minden számnak van egy végtelen tizedestört felírása, és azoknak a racionális számoknak, amiknek a nevezőjében egyszerűsítés után csak kettővel és öttel osztható szám szerepel, van egy véges tizedestört felírásuk is.

Eredete


A tíz kezdettől fogva kiemelt jelentőségű volt a legtöbb számrendszerben, alighanem azért, mert az embernek tíz ujja van. (Számos nyelvben a számjegy és az ujj vagy ujjperc ma is ugyanaz a szó: ilyen például az angol digit, innen ered a számjegy angol neve és a digitális kifejezés). Jelenlegi tudásunk szerint első előfutára Elámban, a mai Irán területén jelent meg az i. e. 4. évezredben. Kezdetleges tízes számrendszert használtak az i. e. 2. évezredtől Egyiptomban és az indus-völgyi civilizációban, és az i. e. 1. évezredtől Kínában. A helyi értékes elv indiai kialakulására a babiloni 60-as és a kínai 10-es alapú rendszerek lehettek hatással. A baktriai görögök a babiloniaktól csupán a 60-as alapú törteket vették át, önmagában ez az ismeret nem inspirálhatta az indiaiakat egy 10-es alapú helyi értékes rendszer kifejlesztésére. Ezzel szemben Kína már a Han dinasztia idején (kb. i. e. 2. sz. – i. u. 3. sz. között) használta saját számláló rúdjait, melyekkel 10-es alapon, helyi értékes elven, az 1...9 számjegyek alkalmazásával képesek voltak pozitív és negatív számokkal dolgozni. A kínai rendszernek a helyi érték indiai kialakulására még ha lehetett is hatása, a nulla helyi értékes – ezzel együtt a teljes 10 számjegyes rendszer – alkalmazása egyértelműen indiai eredetű (Kínában ugyanis indiai átvétel nyomán, az i. sz. 8. században jelent meg).[1]

A nullát is tartalmazó decimális helyi értékes rendszer legkésőbb az i. sz. 5. században jelent meg Indiában [2]. A rendszer globális továbbterjedése az i. sz. 7. századra már az Indiától távoli, Délkelet-Ázsiai régiók kőfeliratain is nyomon követhető. A világ az indiai forrásokból származó, arab közvetítéssel elterjedt hindu-arab számjegyeket a közvetítők után többnyire arab számokként ismeri. A tizedestörtek az első évezred végén, az araboknál fordulnak elő legkorábban.

A tízes számrendszer a nyelvben


Kevés olyan nyelv van, amely tisztán a tízes számrendszer logikáját követi, azaz a 11-et „tíz-egy” vagy a 23-at „kettő-tíz-három” formában nevezi meg. Ilyen a vietnámi, egyes kínai nyelvek, a japán, a koreai, a thai, és egyes inka nyelvek.

A magyar nyelvben a 10-es számrendszer logikája alól a 10 és 20 között nincs kivétel, a 11-et például úgy fejezzük ki, hogy „(a) tízen egy” = tizenegy. A magyar számoknál sosem fordul elő az indoeurópai nyelvekben tapasztalható jelenség sem, hogy az egyes helyi érték megelőzi a tízest, mint például a németben (dreiundzwanzig „három és húsz”= 23). Egyébként ez a jelenség nem fordul elő az uráli nyelvcsalád egyetlen nyelvében sem.

Egyes pszichológusok szerint a gyerekek annál nehezebben tanulnak meg számolni, minél szabálytalanabb a számok neve az adott nyelven.[3]

Jegyzetek


Források


További információk


Kapcsolódó szócikkek


  • Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap



Kategóriák: Számrendszerek


Dátum: 01.04.2021 10:59:12 CEST

Eredet: Wikipedia (Szerzői [Laptörténet])    Lizenz: CC-BY-SA-3.0

Változtatások: Az összes képet és a hozzájuk kapcsolódó legtöbb látványelemet eltávolítottuk. Néhány ikont a FontAwesome-Icons váltotta fel. Néhány sablont eltávolítottak (például „a cikk kibővítéséhez szükséges”) vagy hozzárendelte (mint például „hatjegyek”). A CSS osztályokat vagy eltávolították, vagy harmonizálták.
A Wikipedia-tól olyan linkeket, amelyek nem vezetnek cikkhez vagy kategóriához (mint például a „Redlinks”, „a szerkesztési oldalra mutató linkek”, „a portálok linkjei”), eltávolították. Minden külső linkhez tartozik egy további FontAwesome-Icon. Néhány apró változtatás mellett a médiatartályt, a térképeket, a navigációs dobozokat, a beszélt verziókat és a geomikroformátumokat eltávolítottuk.

Felhívjuk figyelmét: Mivel az adott tartalmat az adott időpontban automatikusan a Wikipedia veszi, a kézi ellenőrzés volt és nem lehetséges. Ezért a nowiki.org nem garantálja a megszerzett tartalom pontosságát és aktualitását. Ha van olyan információ, amely pillanatnyilag hibás, vagy pontatlan a képernyő, akkor nyugodtan lépjen kapcsolatba velünk: email.
Lásd még: Jogi nyilatkozat & Adatvédelmi irányelvek.