Divergencia (vektoranalízis)
A divergencia, ahogy a rotáció, a vektoranalízis egyik differenciáloperátora. Mind differenciálgeometriai, mind fizikán belüli alkalmazásai jelentősek. Legszemléletesebb képét az áramlástanban nyeri el, ahol azt mutatja meg, hogy egy kis térfogatból mennyi folyadék áramlik ki. Ha a térfogatban folyadékforrás van, akkor a divergencia pozitív, ha nyelő, akkor negatív, ha a folyadék csak keresztüláramlik a vizsgált térfogatrészen, akkor a divergencia nulla. Mindezek miatt a divergenciát néha forráserősségnek is nevezik a középiskolai fizikatankönyvek.
Másrészt a differenciálegyenletek elméletében gyakran csak koordinátáival hivatkoznak rá, ami annak köszönhető, hogy kifejezhető parciális deriváltak összegeként.
Tartalomjegyzék
Háromdimenziós eset
Legyen v : R3\({\displaystyle \rightarrow }\)R3 egy nyílt halmazon értelmezett differenciálható függvény (vektormező). Tekintsük valamely r pontban a v Fréchet-deriváltjának sztenderd bázis szerinti koordinátamátrixát (Jacobi-mátrix). E mátrix főátlóbeli elemeinek összegét (spurját vagy nyomát) nevezzük a v divergenciájának:
- \({\displaystyle \operatorname {div} \;\mathbf {v} ={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}}\)
ahol vx, vy, vz a v három koordinátafüggvénye, mellyel v=(vx, vy, vz). Belátható, hogy ez a szám bázisfüggetlen. Akármilyen bázisban is írjuk fel a divergencia értékét, mindig ugyanaz a szám lesz. Ezt jól jellemzi, hogy a divergencia kifejezhető bázisoktól független módon is, határértékként:
- \({\displaystyle \operatorname {div} \;\mathbf {v} =\lim \limits _{{\mathcal {F}}\to \mathbf {r} }{\frac {1}{V}}\int \limits _{\mathcal {F}}\mathbf {v} \,d\mathbf {F} }\)
ahol F az r pontot körülölelő, egyszeresen összefüggő tartományt bezáró felület, a bezárt tartomány térfogata V és ∫v dF pedig a v-nek az F felületre vonatkozó felületi integrálja (fluxus).
A divergencia előbbi kifejezéséből következik a következő integrálátalakító formula, melyet divergenciatételnek vagy matematikai Gauss-tételnek neveznek:
- \({\displaystyle \int \limits _{V}\operatorname {div} \,\mathbf {v} \,dV=\oint \limits _{\mathcal {F}}\mathbf {v} \,d\mathbf {F} }\)
azaz egy vektormező divergenciájának térfogati integrálja egy egyszeresen összefüggő tartományra egyenlő a vektormezőnek a tartomány zárt határfelületére vett felületi integráljával.
Általános eset
Tekintsünk egy E véges dimenziós normált teret és benne egy nyílt halmazon értelmezett v : E\({\displaystyle \mapsto }\)E differenciálható függvényt. Az ilyen függvényt is vektormezőnek neveznek. Ekkor létezik egy kitüntetett lineáris leképezés Hom(E,E)-ben, melyet kanonikus nyomformának nevezünk és Tr-rel (Trace) vagy Sp-val (Spur) jelölünk. Ezt az tünteti ki, hogy minden x ∈ E elemre és A ∈ Hom(E,E) invertálható leképezésre teljesül:
- \({\displaystyle \operatorname {Tr} (AxA^{-1})=\operatorname {Tr} (x)\,}\)
azaz a bázistranszformációra nézve invariáns. A v függvény divergenciája egy a pontban definíció szerint, a nyomforma és a differenciál kompozíciója:
- \({\displaystyle \operatorname {div} \,\mathrm {v} =\mathbf {Tr} \circ D\mathrm {v} (a)}\)
Mivel a differenciál (deriválttenzor) is invariáns a bázistranszformációra, ezért a divergencia is az.
Indexes írásmód
A divergencia, mint v \({\displaystyle \mapsto }\) div v differenciáloperátor kifejezhető a ∇ (nabla) formalizmussal. Eszerint, \({\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} }\) skalárszorzással, vagy az indexes írásmódban, illetve az Einstein-konvenció értelmében:
- \({\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {v} =\sum \limits _{i=1}^{3}\partial _{i}v_{i}=[{\mbox{Einstein-konv.}}]=\partial _{i}v_{i}}\)
Azonosságok
- \({\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {c}}=0}\)
- \({\displaystyle \operatorname {div} \,(c\cdot {\vec {F}})=c\cdot \operatorname {div} \,{\vec {F}}}\)
- \({\displaystyle \operatorname {div} \,({\vec {F}}+{\vec {G}})=\operatorname {div} \,{\vec {F}}+\operatorname {div} \,{\vec {G}}}\)
- \({\displaystyle \operatorname {div} \,(u\cdot {\vec {F}})=\operatorname {grad} \,u\cdot {\vec {F}}+u\cdot \operatorname {div} \,{\vec {F}}}\)
- \({\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {F}}\times {\vec {G}})={\vec {G}}\,\operatorname {rot} \,{\vec {F}}-{\vec {F}}\,\operatorname {rot} \,{\vec {G}}}\)
További információk
A divergenciáról szemléletesen (magyar) 
Kategóriák: Vektor-, mátrix- és tenzoranalízis | A fizika matematikája
Dátum: 23.01.2021 10:27:24 CET
Eredet: Wikipedia (Szerzői [Laptörténet]) Licenc: CC-by-sa-3.0
Változtatások: Az összes képet és a hozzájuk kapcsolódó legtöbb látványelemet eltávolítottuk. Néhány ikont a FontAwesome-Icons váltotta fel. Néhány sablont eltávolítottak (például „a cikk kibővítéséhez szükséges”) vagy hozzárendelte (mint például „hatjegyek”). A CSS osztályokat vagy eltávolították, vagy harmonizálták.
A Wikipedia-tól olyan linkeket, amelyek nem vezetnek cikkhez vagy kategóriához (mint például a „Redlinks”, „a szerkesztési oldalra mutató linkek”, „a portálok linkjei”), eltávolították. Minden külső linkhez tartozik egy további FontAwesome-Icon. Néhány apró változtatás mellett a médiatartályt, a térképeket, a navigációs dobozokat, a beszélt verziókat és a geomikroformátumokat eltávolítottuk.
Felhívjuk figyelmét: Mivel az adott tartalmat az adott időpontban automatikusan a Wikipedia veszi, a kézi ellenőrzés volt és nem lehetséges. Ezért a nowiki.org nem garantálja a megszerzett tartalom pontosságát és aktualitását. Ha van olyan információ, amely pillanatnyilag hibás, vagy pontatlan a képernyő, akkor nyugodtan lépjen kapcsolatba velünk: email.
Lásd még: Om oss & Adatvédelmi irányelvek.
