Rotáció
A rotáció és a divergencia a vektoranalízis differenciáloperátorai. Mind differenciálgeometriai, mind fizikán belüli alkalmazásaik jelentősek. A rotáció jelentése legszemléletesebb az áramlástanban, ahol azt mutatja meg, hogy örvénylik a folyadék egy kis térfogatban.
Ha egy vektormező rotációja mindenütt nulla, akkor ez a vektormező örvénymentes.
Tartalomjegyzék
- 1 Néhány gyakorlati példa
- 2 Definíció
- 3 A rotáció mint örvénysűrűség
- 4 Felbontási tétel
- 5 Stokes integráltétele
- 6 Számolási szabályok
- 7 Általánosítás tetszőleges fokú tenzormezőkre
- 8 Források
- 9 Külső hivatkozások
Néhány gyakorlati példa
- A forgószelek egy úgynevezett szem körül örvénylenek. A forgószelet leíró vektormező rotációja nem nullvektor a szemben, és lehet, hogy máshol sem.
- Egy forgó tárcsa pontjainak sebességét leíró vektormező rotációja minden pontban ugyanaz a nullvektortól különböző vektor.
- A következő példa egy autópálya, ahol az egyes sávokon különböző sebességgel haladnak az autók. Ha ez a sebesség balról jobbra növekszik, akkor a sávokat elválasztó vonalakon a rotáció szintén nem nullvektor.
Definíció
Az \({\displaystyle F=\left(F_{x},F_{y},F_{z}\right)}\) háromdimenziós vektormező rotációja szintén háromdimenziós vektormező. Jelölése :\({\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {F}}=\operatorname {curl} {\vec {F}}=\nabla \times {\vec {F}}}\) , ahol \({\displaystyle \nabla }\) a nabla operátor, és rot a rotáció függvényszimbóluma. A kereszt egy formális keresztszorzatot jelent, így a rotáció a derékszögű koordináta-rendszerben:
- \({\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {rot} :&C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{3})&\rightarrow &C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{3})\\&{\vec {F}}=\left(F_{x},F_{y},F_{z}\right)&\mapsto &\nabla \times {\vec {F}}\end{matrix}}}\)
ahol is a keresztszorzat a következő összefüggést adja: :\({\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\\{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\\\end{pmatrix}}}\)
A keresztszorzat definíciója alapján a rotáció formális determinánsként írható fel.
Gömbi koordinátákkal:
- \({\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(F_{\phi }\sin \theta \right)-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \phi }}\right]\\{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{\phi }\right)\\{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{\theta }\right)-{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right]\end{pmatrix}}}\)
Hengerkoordinátákkal: :\({\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\\{\frac {\partial F_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial r}}\\{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\cdot F_{\varphi }\right)-{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}\right]\end{pmatrix}}}\)
Görbe vonalú derékszögű koordináta-rendszerben:
\({\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\frac {{\vec {e}}_{q_{1}}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial q_{2}}}-{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial q_{3}}}\right]+{}}\) \({\displaystyle {\frac {{\vec {e}}_{q_{2}}}{h_{1}h_{3}}}\left[{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial q_{3}}}-{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial q_{1}}}\right]+{}}\) \({\displaystyle {\frac {{\vec {e}}_{q_{3}}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial q_{1}}}-{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial q_{2}}}\right]}\), ahol \({\displaystyle h_{a}={\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial {q_{a}}}}\right|}}\)
A rotáció előjelet vált, ha balos koordináta-rendszerről jobbos koordináta-rendszerre térünk át.
Két dimenzióban
A \({\displaystyle {\vec {V}}=\left(V_{x},V_{y}\right)}\) vektortérben a következő módon számítható a rotáció:
- \({\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {V}}={\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}}\)
Ez éppen egy háromdimenziós vektormező rotációjának a harmadik koordinátája.
A rotáció mint örvénysűrűség
Az örvénysűrűségként való értelmezés a Stokes-tétel következő infinitezimális alakján nyugszik:
\({\displaystyle ({\rm {rot}}\,\mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} :=\lim _{\rm {\Delta S^{(2)}\to 0}}\,\{{\frac {1}{|\Delta S^{(2)}|}}\,\oint _{\Gamma }\,\mathbf {F} \cdot {\rm {d}}\mathbf {r} \}}\)
Itt \({\displaystyle \Delta S^{(2)}}\) egy tetszőlegesen irányított \({\displaystyle \mathbf {n} }\) normálisú kis felületdarab; felszíne \({\displaystyle |\Delta S^{(2)}|}\), és irányított határgörbéje \({\displaystyle \Gamma =\partial (\Delta S^{(2)})}\).
A divergenciával analóg módon a legtöbb itt megadott állítás levezethető ebből a formulából.
Felbontási tétel
A \({\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} )}\) kétszer folytonosan differenciálható háromdimenziós vektormező, amely a végtelenben elég gyorsan tart nullához, felbontható egy \({\displaystyle \mathbf {E} }\) örvénymentes rész és egy forrásmentes \({\displaystyle \mathbf {B} }\) rész összegére:
\({\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {E} +\mathbf {B} }\).
Az örvénymentes részt meghatározza a forrássűrűsége:
\({\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )}\), ahol \({\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,{\rm {d}}^{(3)}r'\,\,{\frac {{\rm {div}}\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}\).
A forrásmentes részre hasonlók teljesülnek, ha \({\displaystyle \Phi }\) skalárpotenciálja helyett az \({\displaystyle \mathbf {A} }\) vektorpotenciált vesszük, és a \({\displaystyle -\nabla \,\Phi }\) meg a \({\displaystyle {\rm {div}}\,\,\mathbf {E} }\) kifejezéseket a \({\displaystyle {\rm {rot}}\,\mathbf {A} }\) meg a \({\displaystyle {\rm {rot}}\,\mathbf {B} }\) kifejezések helyettesítik
Stokes integráltétele
A rotáció szerepet játszik a vektoranalízisben fontos Stokes-tételben, aminek segítségével a felszíni integrál görbe menti integrállá alakítható:
\({\displaystyle \iint _{M}(\operatorname {rot} {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=\oint _{\partial M}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}\)
Számolási szabályok
Minden \({\displaystyle c\in \mathbb {R} }\) konstansra, minden \({\displaystyle u\;}\) skalármezőre és minden \({\displaystyle {\vec {F}}}\), \({\displaystyle {\vec {G}}}\) vektormezőre fennáll:
- linearitás:
- \({\displaystyle \operatorname {rot} (c\cdot {\vec {F}})=c\cdot \operatorname {rot} {\vec {F}}}\)
- \({\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {F}}+{\vec {G}})=\operatorname {rot} {\vec {F}}+\operatorname {rot} {\vec {G}}}\)
- differenciálformák:
- \({\displaystyle \operatorname {rot} ~\operatorname {grad} \,u={\vec {0}}}\)
- \({\displaystyle \operatorname {rot} (u\cdot {\vec {F}})=u\cdot \operatorname {rot} {\vec {F}}+(\operatorname {grad} \,u)\,\times {\vec {F}}}\)
- további szorzási szabályok
- \({\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {F}}\times {\vec {G}})=\left({\vec {G}}\cdot \operatorname {grad} \right){\vec {F}}-\left({\vec {F}}\cdot \operatorname {grad} \right){\vec {G}}+{\vec {F}}\,(\operatorname {div} \,{\vec {G}})-{\vec {G}}\,(\operatorname {div} \,{\vec {F}})}\)
- \({\displaystyle \operatorname {rot} (\operatorname {rot} {\vec {F}})=\operatorname {grad} (\operatorname {div} \,{\vec {F}})-\Delta \,{\vec {F}}}\)
Általánosítás tetszőleges fokú tenzormezőkre
Egy vektormező értelmezhető elsőfokú tenzormezőként. Az Einstein-féle összegkonvenció és a Levi-Civita-szimbólum alapján egy vektormező rotációja így írható:
- \({\displaystyle (\nabla \times {\vec {F}})_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k}}\)
A tetszőleges fokú \({\displaystyle F_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{N}}}\) tenzorokra ez alapján az általánosítás nyilvánvaló:
- \({\displaystyle (\nabla \times F)_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{N-1},k}}\)
Források
- Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5
Külső hivatkozások
A rotációról érthetően (magyar) 
Kategóriák: Vektor-, mátrix- és tenzoranalízis
Dátum: 23.01.2021 11:36:18 CET
Eredet: Wikipedia (Szerzői [Laptörténet]) Licenc: CC-by-sa-3.0
Változtatások: Az összes képet és a hozzájuk kapcsolódó legtöbb látványelemet eltávolítottuk. Néhány ikont a FontAwesome-Icons váltotta fel. Néhány sablont eltávolítottak (például „a cikk kibővítéséhez szükséges”) vagy hozzárendelte (mint például „hatjegyek”). A CSS osztályokat vagy eltávolították, vagy harmonizálták.
A Wikipedia-tól olyan linkeket, amelyek nem vezetnek cikkhez vagy kategóriához (mint például a „Redlinks”, „a szerkesztési oldalra mutató linkek”, „a portálok linkjei”), eltávolították. Minden külső linkhez tartozik egy további FontAwesome-Icon. Néhány apró változtatás mellett a médiatartályt, a térképeket, a navigációs dobozokat, a beszélt verziókat és a geomikroformátumokat eltávolítottuk.
Felhívjuk figyelmét: Mivel az adott tartalmat az adott időpontban automatikusan a Wikipedia veszi, a kézi ellenőrzés volt és nem lehetséges. Ezért a nowiki.org nem garantálja a megszerzett tartalom pontosságát és aktualitását. Ha van olyan információ, amely pillanatnyilag hibás, vagy pontatlan a képernyő, akkor nyugodtan lépjen kapcsolatba velünk: email.
Lásd még: Om oss & Adatvédelmi irányelvek.
